ログに "named[1471]: the working directory is not writable" が出力されていました。
ログのとおりにディレクトリにアクセス権がないようだったので、書き込みの権限を与えました。
# chmod g+w /var/named
さらに、"zone 'xxxx' allows updates by IP address, which is insecure" というログも出力されていましたが、これは内部のみの DNS サーバなので気にしないことにしました。対処には、TSIG（Transaction Signature）というものを利用するようです。